π与素数的奇妙巧合
先说π的数值中的素数。
如果不考虑小数点(本节下同),将π值在任意位数上中断,能否得到素数?
研究结果有趣且使人惊奇,截至2015年年底,只发现了4个素数:3,31, 314159,31415 926535 897932 384626 433832 795028 841。最后这个38位的天文数字,由在美国伊利诺伊大学工作的罗伯特·贝利和马文·旺德利希于1979年发现。罗伯特·贝利还计算了前432位的π值,再也没发现素数。
把一个自然数颠倒后所得的数称为原数的梅维宁数,简称梅数,或者说两者互为梅数,但一般要把11,22,111这样的回文数排除在外。例如,153的梅数是351,或者说153与351互为梅数。梅数也叫镜反数、逆(序)数、反数或反置数。美籍华裔固体物理学家、内布拉斯加州立大学奥马哈分校的梅维宁博士在1979年3月的一封信中津津乐道地谈到了他的这个发现。梅数中的素数称为梅素数、(镜)反素数、(可)逆素数或绝对素数。最小的反素数是13,但也有人把2,3,5,7看成特殊的梅素数。截至2014年年底,已知最大的反素数为1010006+941992 101× 104999+1,由丹麦数学家延斯·克鲁斯·安德森在2007年10月发现。有趣而不可思议的是,π值的前3个素数颠倒过来依然是反素数:3,13,951413。
有没有第5个或更多个由π值形成的素数?至今仍然是一个有趣的谜。
在前1000万位π值中至少出现过6次的314159是一个奇特的素数,以下是其中的一些有趣点滴。
① 它不但是一个反素数,而且它的互补数796951也是一个反素数。
② 它由3个素数31,41,59连写而成,它们都各自是孪生素数,即分别与它们相差2的29,43,61也都是素数。
③ 31,41,59各自的和131(=31+41+59)、各自的立方和304091(=313+413+593)与各自的5次方和859409 651(=315+415+595)都分别是素数。其中131还是回文素数。
④ 31和32是只有一种素因子的连续数对(31只有一种素因子31,32只有一种素因子2),目前知道这样的数对只有26对,而26正好在3.141592 6中。
⑤ 41不仅是孪生素数,而且在x2+x+41中,当x=1,2,3, …,39时全是素数。
3.141 592 6也同样有趣。最小的完全数是6,但也有人把1看成最小的完全数。如果按后一种观点,就有一个趣味现象:第1位小数1是最小的完全数;前3位小数之和1+4+1=6是第2个完全数;π的前7位数字之和1+4+1+5+9+2+6=28是第3个完全数,而且等于顺序自然数之和1+2+3+4+5+6+7。顺序自然数之和1+2+3+…+n与π的前n位小数之和相等的仅有这3个数。
再说π的近似分数表达式中的素数有哪些奇妙的巧合。
将最小的3个奇素数1,3,5(本节在下面用到历史上曾认为1是素数的看法)分别重复一次,就能组成113355。将完全由奇素数组成的113355平分成两段,然后分别放在分母与分子上,就得到密率355/113。看,π完全浸透在奇素数之中!有趣的巧合是,如果分别把355和113的百位数与个位数对调,再在分母的个位数上加1,就得到新的分数553/312=1.772435 8…。它的前8位数字正好与准确π值的平方根1.772453 8…完全相同,仅仅有两个数字(前者的35和后者的53)排列顺序颠倒而已。由此可见,两者的前5个数字完全吻合。在这一系列变换和比较数字大小的过程中,1,3,5始终和大明星π相随相伴,真是3个“π基因”!
约率22/7也是一个与奇素数有关的有趣近似分数表达式。将22/7写成3+1/7,可看出它完全由奇素数构成。
也是一个非常有趣的数。例如,循环节142857与2,3,4,5,6的积,分别仍然由这6个数字组成(例如142857×2=285714),仅仅是各数字的位置依次移动而已。具有这种性质的数被数学家们称为循环数。而该循环节乘以7则得到999999。